В предыдущем посте мы прочитали о строительных блоках линейной алгебры, а также рассмотрели концепцию линейной независимости, базиса и размерностей.
В этом посте мы изучим матрицы и определитель.
Матрицы - это не что иное, как расположение математических объектов в прямоугольном массиве.
Размерность матрицы - это количество строк и столбцов, например, размер ниже m * n, то есть m строк и n столбцов.
Две матрицы могут быть добавлены, если они имеют одинаковые размеры.
Давайте изучим некоторые другие свойства матриц.
A = ((a (ij))) называется единичной матрицей, если ((a (ij))) = 0, если i не равно j, и ((a (ij))) = 1, если i = j
A+B =B +A
A(B+C)=AB+AC
A(BC)=(AB)C
A+(B+C)=(A+B)+C
(A+B)^{T}=A^{T}$+B^{T}
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}
След матрицы A - это сумма диагональных элементов матрицы, обозначенных tr (A)
tr (AB) = tr (BA)
Квадратная матрица симметрична, если $ a_ {ij} $ = $ a_ {ji} $ для всех i, j, A симметрична тогда и только тогда, когда A = $ A ^ {T} $
Квадратная матрица называется верхней треугольной, если a {ij} = 0, если i ›j
Квадратная матрица является нижней треугольной, если a {ij} = 0, если i‹ j
Квадратная матрица является треугольной, если она либо верхний треугольник, либо нижний треугольник
A и B являются верхним / нижним треугольником порядка n, тогда AB также является верхним / нижним треугольником
A {i *} $ обозначает i-ю строку A, а A {* j} обозначает j-й столбец A
Теперь у нас достаточно информации о матрицах. Мы будем использовать вышеупомянутую концепцию для решения системы уравнений. Как и раньше, в оставшуюся часть прилагаю фрагменты записной книжки.
Завершим эту статью концепцией детерминант.
Определитель матрицы определяется как переменная сумма перестановок элементов матрицы.
Для квадратной матрицы A и B
- det (^ T) = det (A). Здесь A ^ T означает транспонирование A
- Если B получается из A путем умножения любой одной строки или столбца на a, то det (B) = adet (A).
- Если B получается из A путем перестановки двух строк или перестановки двух столбцов, det (B) = -det (A).
- Если две строки или два столбца A равны, det (A) = 0
- Определитель треугольной матрицы - произведение диагональных элементов.
- Для фиксированного k пусть k-я строка матрицы A представляет собой сумму двух векторов-строк 𝑥𝑇xT и 𝑦𝑇yT. Тогда det (A) = deta (B) + det (C), где B (соответственно C) получается из A заменой k-й строки на 𝑥𝑇xT (соответственно 𝑦𝑇yT).
- Если скалярное кратное одной строки (столбца) добавляется к другой строке (столбцу) матрицы, определитель матрицы не изменяется.
- Квадратная матрица A невырождена тогда и только тогда, когда lAI ~ O.
- det (AB) = deta (A) * det (B)
Определитель разделенной матрицы
Если A и D квадратные и A неособые.
Пусть Q
E обозначает обратное к A, тогда det (Q) = det (A) det (D-CEB)